Экономические задачи (продолжение)

Согласно статистике, почти каждая семья берёт кредит на приобретение того или иного товара! В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике страны и каждой семьи. 

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. 

Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Рассмотрим основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с «экономическим содержанием».

1. Решение задач по формулам.

№1. Цена товара А руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

РЕШЕНИЕ
Цена товара после повышения стала А(1+ 25/100). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+ 25/100)(1- p/100) и получим первоначальную цену товара: А(1+ 25/100)(1- p/100) = А. Откуда получим ответ: 20%

№2. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

РЕШЕНИЕ
Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+ p/100)рублей. Сняв четверть данной суммы, получим 

3/4 А(1+p/100). Теперь на эту сумму начисляют новый процент

3/4 А(1+p/100)(1+ p/100 + 40), который стал = 1,44А.

 Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%

№3. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

РЕШЕНИЕ
Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+p/100)руб. Т.к. фермер вернул 3/4 долга, то осталось 1/4 А(1+p/100). После 2-го года долг вырос на р% и стал 

1/4 А(1+ p/100)(1+p/100)= 1/4 А(1+p/100)2 .Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+21/100) и погасил кредит, т.е 1/4 А(1+p/100)2 - А(1+21/100)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

2. Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях

№4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по  сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

РЕШЕНИЕ

Пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. 

К началу 2-года величина вклада составила А (1+50/100)= 1,5А рублей; 

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей; 

К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х рублей; К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х рублей;

К концу 5-года величина вклада составила

((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. 

По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1+ 725/100). 

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим х=210000

3. Применение свойства степеней

№5. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11и 1/9% и, наконец 12,5%, в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 и 1/6%. Определите срок хранения вклада.

РЕШЕНИЕ

Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+5/100)руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ 5/100)2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя - t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в

И по истечении срока хранения первоначальная сумма стала А (1+ 625/600)

Применяя свойства степеней, получим

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

2m+n-2k-3t = -3

k-2n+2t= -1

n-k-2m -0

k+m =2

 Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев

4. Решение задач с помощью математического анализа

№6. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной

РЕШЕНИЕ

Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 + х/100) руб. Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается сумма 4/5А +x/100 А . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется

Нас интересует значение х, при котором значение

будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.

т е 50− 2х =0,  х =25

 или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0 (вершина параболы), то есть в точке

Ответ: 25%

5. Задачи на сравнение

№7. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

РЕШЕНИЕ

 

Тогда сумма увеличится в

Ответ: на 96%