Четырёхугольник. Площадь четырёхугольника

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.). Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно   по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника.

Решение треугольников. Площадь треугольника

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Площадь круга и его частей

Вот и завершающий урок по геометрии на плоскости. Готовимся к экзаменам. Повторяем планиметрию. Геометрия до конца не изученная наука, и, может быть, многие открытия ждут именно вас.

Площадь круга

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий. Круг – воплощение нескончаемого Времени и Пространства, символ всего сущего, Вселенной. “Из всех фигур прекраснейшая – круг”, – считал Пифагор. Круг и окружность широко применяются в архитектуре и искусстве: круглые арки, своды, купола. Круг – это форма кочевых шатров и поселений, у многих народов символизирующая динамизм и бесконечное движение.

Длина окружности. Длина дуги

В Древней Греции круг и окружность считали венцом совершенства. В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса, так как ось и втулка колеса должны всё время быть в соприкосновении. Самое первое колесо в истории человечества «появилось» в эпоху неолита на Балканах.

Скалярное произведение векторов

Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие. Постарайтесь не пропускать примеры, – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии. И помним, скалярное, значит в ответе получим число.

Решение треугольников. Теорема косинусов

ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603)  встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов. 

Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится, как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС угол А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по теореме косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем: a 2 = b 2 + c 2 , т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Решение треугольников. Теорема синусов

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). В X в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В XII в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам.

 Но, к сожалению, многое осталось не переведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы. К сожалению, в истории математики много таких случаев.

Решение треугольников.

Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации. При решении задач используют теорему косинусов или теорему синусов. 

Уравнение прямой

Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек кривой
называется уравнением этой кривой.

Уравнение окружности

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным радиусу окружности.

Решение задач методом координат

Есть метод, который позволит  свести многие задачи по геометрии к простой арифметике. Этот метод может существенно облегчить  жизнь особенно в том случае, когда ты неуверенно чувствуешь себя в построении пространственных фигур, сечений и т. д. Все это требует определенного воображения и практических навыков. Метод же, позволит вам практически полностью абстрагироваться от всякого рода геометрических построений и рассуждений. Метод носит название «метод координат».

Вы уже догадались, почему метод координат так называется? Верно, он получил такое название, так как он оперирует не с геометрическими объектами, а с их числовыми характеристиками (координатами). А само преобразование, позволяющее перейти от геометрии к алгебре, заключается во введении системы координат. Если исходная фигура была плоской, то координаты двухмерные, а если фигура объемная, то координаты трехмерные. 

Простейшие задачи в координатах

Хочется ещё раз повторить народную мудрость "Ум без догадки - гроша не стоит", т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. Для решения задач мало знать формулы, их нужно ещё умело применить.

Координаты вектора

Понятие вектора наиболее естественно вводится в евклидовом пространстве, ибо здесь справедлива теорема Пифагора и можно пользоваться ортогональными составляющими, а это удобно: ведь движения во взаимно перпендикулярных направлениях независимы. Совокупность трех ортогональных составляющих и образует вектор. Сам термин "вектор" впервые появился в 1845 году у английского математика Уильяма Гамильтона. Современный вид векторам придал американский физик Джозайя Уиллард Гиббс.

Вторая половина XIX в., но даже тогда векторная символика еще не привилась. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О.Коши. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках. Математика интересна тем, что она отлично работает на стыке наук, помогая им развиваться.

Средняя линия трапеции

Конечно, трудно поверить, но до конца XV века в России математические книги были запрещены как "богомерзостные". И только в 1701 году Пётр I основал в Москве школу «Математических и навигатских наук» , где впервые были введены арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия, и вскоре были переведены на русский язык и изданы «начала» Евклида под редакцией англичанина Форварсьна. Радуемся, что мы живём в XXIвеке)))

Векторы на плоскости

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.

Вписанные и описанные окружности (продолжение)

Продолжаем разговор о вписанных и описанных окружностях. Готовимся к экзаменам. Повторяем геометрию.

Вписанные и описанные окружности

Важной составной частью геометрии треугольника является теория фигур и кривых, вписанных в треугольник или описанных около него.

Четыре замечательные точки треугольника

С любым треугольником в геометрии связаны четыре точки: 1) точка пересечения медиан, 2)точка пересечения высот, 3)точка пересечения биссектрис, 4)точка пересечения серединных перпендикуляров... Их и называют замечательными точками треугольника.

Центральные и вписанные углы

Решение задач на вписанные в окружность треугольники и четырехугольники во многих случаях также сводится к рассмотрению вписанных и центральных углов (или дуг). На ОГЭ -это задание 10, на ЕГЭ - это задание 7.

Касательная к окружности

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике “Элементы геометрии” французского математика Лежандра (1752-1833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (продолжение)

Продолжаем решать задачи. Формулы повторили? Значения функций выучили? Молодцы!

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Знание данного материала чрезвычайно необходимо учащимся, так как в дальнейшем он будет применяться на практике для решения разнообразных геометрических задач.

Средняя линия треугольника

Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.

Подобие треугольников (продолжение)

Подобие треугольников широко используется при решении различных задач. В одной древнеегипетской погребальной камере была обнаружена стена, на которую рисунок был нанесен при помощи деления стены на квадратики. Этим методом широко пользуются художники для переноса изображения

Идея подобия развивалась в различных странах параллельно и возникла из потребности решения задач на определение размеров недоступных предметов и расстояния до них

. Подобие треугольников (продолжение)

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. тру­дами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны». 

Подобие треугольников

За шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский вычислил высоту египетской пирамиды, измерив длину её тени.

Теорема Пифагора

Кто не знает теорему Пифагора? Даже детсадовцам знакома кричалка: "Пифагоровы штаны во все стороны равны!"

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей во Вселенной. Было решено передать в Космос  сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Площадь трапеции

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерениями площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах.

Площадь треугольника.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Вспомним хотя бы землемеров Древнего Египта...

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма. Существует несколько формул для вычисления площади параллелограмма. Мы их уже повторяли на предыдущих занятиях

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника умеют находить уже ученики начальной школы. Чтобы найти площадь, надо длину умножить на ширину. Или, как говорят ученики, начинающие изучать геометрию, площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Трапеция (продолжение)

Сегодня мы решаем задачи на трапецию. Готовимся к экзаменам. Повторяем геометрию.

Трапеция

Скажите, какое слово вам напоминает слово трапеция? Правильно - трапеза, потому что столешницу обеденного столика делали в форме равнобедренной трапеции.

.Параллелограмм (окончание)

Заключительное занятие по параллелограмму. Готовимся к экзаменам. Повторяем геометрию.

Параллелограмм (продолжение)

Вы заметили, что решать задачи стало всё проще и проще? Значит теорию закрепили замечательно. Молодцы! Так держать.

Параллелограмм (продолжение)

Продолжаем решать задачи на свойства параллелограмма. Они простые, но каждая сложная задача состоит из маленьких вот таких простых задач.

Параллелограмм (продолжение)

Продолжаем повторять свойства параллелограмма. Теорию уже хорошо выучили, проверим на практике свои знания.

Параллелограмм

Мы уже повторили материал геометрии за 7 класс. Открываем новую страницу - четырёхугольники. Сегодня мы повторим параллелограмм.

УРА!!! Каникулы!

Вот и пролетела первая четверть. Совсем недавно было лето, а уже зима спешит к нам.
Поздравляю, коллеги, с маленькой передышкой. Всего вам самого доброго. Отличного здоровья и прекрасного настроения!  Счастливых каникул!

Расстояние от точки до прямой

В жизненных ситуациях очень часто нужно найти расстояние от какого-либо объекта, например, до трассы. Кратчайшее расстояние - это перпендикуляр.

\

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для доказательства равенства прямоугольных треугольников достаточно найти две пары равных элементов, та как по одному равному прямому углу у них уже есть.

Некоторые свойства прямоугольных треугольниковов

Треугольник называется прямоугольным, если в нём есть прямой угол. Сегодня рассмотрим несколько свойств прямоугольного треугольника и применим их для решения простейших задач.

Равнобедренный треугольник

Продолжаем  повторять геометрический материал 7 класса. Сегодня - это равнобедренный треугольник.

Углы треугольника (продолжение)

Продолжаем решать задачи на нахождение неизвестных углов треугольника.

Углы треугольника

Треугольник. Замечательная фигура. Много интересных свойств. Самое главное: мы должны помнить, что в любом треугольнике сумма внутренних углов составляет 180 градусов.

Свойства углов при параллельных прямых

Сегодня мы будем решать задачи обратные тем, что решали на прошлом занятии. 

Признаки параллельности прямых.

Ох, уж эти параллельные? То они не пересекаются, а то вдруг, где-то там вдали, пересекаются))) Чтобы не потеряться - вспомним признаки параллельности прямых.

Периметр равнобедренного треугольника

Что такое периметр мы уже вспоминали. ПЕРИМЕТР - сумма длин всех сторон. Помним, у равнобедренного треугольника боковые стороны равны.