Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
При решении задач по теории вероятностей работает логика перебора.
Вот задача из диагностической работы, которая многим показалась сложной.
11. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 112222.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 123456. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 123 и 231 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию: 123, 124, 125, 126
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем: 135, 136, 145, 146, 156
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем: 234, 235, 236, 245,246,256,345,346,356,456
Всего 20 возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они: 134,135,136,145,146,156,234,235, 236,245,246,256
– всего 12 благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 12/20.
Ответ: 0,6.
Какие же задачи ждут вас на ЕГЭ по математике?
Разберем одну из сложных задач по теории вероятностей.
12. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент N. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент N. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что N. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии N. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что N. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, N. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 • 0,8.
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
1 – 0,5 • 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна
0,6 • 0,8 • (1 — 0,5 • 0,3) = 0,408.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример.
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример.
1. В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Найдите вероятность того, что вытащено зелёное яблоко.
Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25. Или 0,68
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.
Ответ: 0,68
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
2. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.
Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.
2. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.
Ответ: 0,6
3. (Демо-вариант) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.
3. (Демо-вариант) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.
Ответ: 0,92
4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.
Задача решается аналогично.
18/30 = 0,6
Ответ: 0,6.
5. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок).
Ответ: 0,6.
5. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок).
Ответ: 0,25.
6. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.
6. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.
Ответ: 0,2
7. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.
Ответ: 0,5.
8. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода: О О; О Р; Р О; Р Р
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 * 2 * 2 = 8.
Вот они: О О О; О О Р; О Р О ; Р О О; О Р Р; Р О Р; Р Р О; Р Р Р
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
7. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.
Ответ: 0,5.
8. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода: О О; О Р; Р О; Р Р
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 * 2 * 2 = 8.
Вот они: О О О; О О Р; О Р О ; Р О О; О Р Р; Р О Р; Р Р О; Р Р Р
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
3/ = 0,375
Ответ: 0,375.
9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6 * 6 = 36.
А теперь — благоприятные исходы: 2 и 6; 3 и 5; 4 и 4; 5 и 3; 6 и 2.
Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,41.
Ответ: 0,375.
9. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6 * 6 = 36.
А теперь — благоприятные исходы: 2 и 6; 3 и 5; 4 и 4; 5 и 3; 6 и 2.
Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,41.
Ответ: 0,41
10. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза подряд.
Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 * 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 * 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,6561.
10. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза подряд.
Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 * 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 * 0,9 * 0,9 * 0,9 = 0,6561.
Ответ: 0,6561
При решении задач по теории вероятностей работает логика перебора.
Вот задача из диагностической работы, которая многим показалась сложной.
11. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?
Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами 1, а десятирублевые цифрами 2 — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора 112222.
Однако есть более простое решение:
Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?
Давайте запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 123456. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 123 и 231 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию: 123, 124, 125, 126
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем: 135, 136, 145, 146, 156
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем: 234, 235, 236, 245,246,256,345,346,356,456
Всего 20 возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они: 134,135,136,145,146,156,234,235, 236,245,246,256
– всего 12 благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 12/20.
Ответ: 0,6.
Какие же задачи ждут вас на ЕГЭ по математике?
Разберем одну из сложных задач по теории вероятностей.
12. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент N. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент N. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что N. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии N. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что N. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, N. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 • 0,8.
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
1 – 0,5 • 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна
0,6 • 0,8 • (1 — 0,5 • 0,3) = 0,408.
Ответ: 0,408
13. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Как решать эту задачу? Вот каким будет правильное решение:
По условию, 10 из каждых 100 тарелок имеют дефект. При контроле качества выявляются 80% дефектных тарелок, то есть 8 из 10, а оставшиеся 2 тарелки (допустим, с трещинами или сколами) поступают в продажу. Итак, 92 тарелки из 100 поступили в продажу. Из них 90 – хорошие, а 2 – дефектные. Тогда вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка окажется хорошей, равна 90 : 92, то есть приблизительно 0,98.
Как решать эту задачу? Вот каким будет правильное решение:
По условию, 10 из каждых 100 тарелок имеют дефект. При контроле качества выявляются 80% дефектных тарелок, то есть 8 из 10, а оставшиеся 2 тарелки (допустим, с трещинами или сколами) поступают в продажу. Итак, 92 тарелки из 100 поступили в продажу. Из них 90 – хорошие, а 2 – дефектные. Тогда вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка окажется хорошей, равна 90 : 92, то есть приблизительно 0,98.
Ответ: 0,98
Комментариев нет:
Отправить комментарий