Готовимся к ЕГЭ. Задачи на движение по воде

Следующий тип задач В13 — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавсредства и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной (стоячей) воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.


Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.


А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.


1. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х.

Тогда скорость движения моторки по течению равна (х + 1), а скорость, с которой она движется против течения (х – 1).

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению t1 = 255 : (x + 1), при движении против течения t2 = 255 : (x – 1) , причем t2 на два часа больше, чем t1.

Условие «t2 на два часа больше, чем t1» можно записать в виде: t1 + 2 = t2

Составляем уравнение:



и решаем его.




Приводим дроби в левой части к одному знаменателю. Раскрываем скобки



Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

Умножаем обе части уравнения на (x2 - 1)

х2 - 1 = 255

х2 = 256


Вообще-то это уравнение имеет два корня: x1 = 16 и x2 = - 16 (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит по смыслу задачи — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за x скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна (x + 15), скорость его движения против течения равна (15 – x). Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку t = S : v , время t1 движения теплохода по течению равно 200 : (15 + x), t2 которое теплоход затратил на движение против течения, равно 200 : (15 – x) .

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит, t1 + t2 = 30


Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем квадратное уравнение х2 = 25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: х = 5.

Ответ: 5.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 500 километров в час — задача решена неверно.

3. Баржа в 10.00: вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В — 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16.00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна х. Тогда по течению баржа плывет со скоростью (х + 7), а против течения со скоростью (7 – х).

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут =

  

 часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 

 

Возникает вопрос — какой из пунктов, А или В, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма t1 + t2 , равная

Итак, решим это уравнение. Число 

в правой части представим в виде неправильной дроби.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

Поскольку скорость течения положительна, x = 2.

Ответ: 2.


Решите самостоятельно:


4. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Ответ: 11