Лицо у каждой школы есть своё, а эту школу трудно не узнать. «Всегда быть первой!» –вот девиз её. Всегда вперед и выше! Так держать!

пятница, 23 сентября 2016 г.

Готовимся к ЕГЭ. Сложное задание 19 (С6)

Задача 19 (С6) – последняя под номером задача ЕГЭ по математике, традиционно считающаяся самой сложной. Немногие решают С6, и немногие репетиторы учат этому своих учеников.



На что она похожа? – Если в шутку, то она такая: "Загадайте двузначное число от 20 до 60. Умножьте на 5. Отнимите 13. Добавьте 17, разделите на 2 и закройте глаза". Темно, правда?


А если всерьез?

Ведь задача 19 (С6) оценивается в целых 4 первичных балла. Есть определенные подходы, методы ее решения. И один балл из этих четырех – за пункт а) – можно взять почти всегда!


Итак, задача 19 (С6)

На доске написаны числа 1, 2, 3, …,30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек числа, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательности 5 ходов.
б )Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Заметим, что сумма чисел в каждой тройке меньше 35. В задачах такого типа часто удобнее пользоваться нестрогим неравенством, чем строгим.

Решение:

а) Пример привести легко (и получить за этот пример 1 первичный балл на ЕГЭ!)
30, 1, 3 (сумма 34)
2, 4, 27 (сумма 33)
5, 6, 21 (сумма 32)
7, 8, 16 (сумма 31)
9, 10, 11 (сумма 30).

б) Выясним, можно ли сделать 10 ходов. Ведь у нас 30 чисел, и сделав 10 ходов, мы сотрем с доски их все. А значит, вопрос можно переформулировать следующим образом:



«Можно ли разбить натуральные числа от 1 до 30 на тройки так, чтобы суммы чисел в каждой тройке были различны и каждая из них не превышала 34?» Предположим, что такое разбиение возможно. Обозначим суммы чисел в каждой тройке , где принимает значения от 1 до 10. Расставим эти суммы в порядке убывания. Пусть – максимальная сумма, причем она не превосходит 34, и 
каждая следующая сумма меньше предыдущей.

Так как сумма чисел в каждой тройке у нас должна быть меньше 35, то сумма всех получившихся чисел пи суммировании троек у нас должна быть меньше 350. С другой стороны: так как в 10 ходах используются все 30 чисел, то их сумма получается 1+2+3+ ….+30=465. Противоречие!

Таким образом 10 ходов невозможны.



в) Какое же максимальное чи
сло ходов можно сделать? В пункте а) мы выяснили, что 5 ходов сделать можно. В пункте б) доказали, что 10 ходов сделать нельзя. Нам осталось проверить, можно ли сделать 9, 8, 7 или 6 ходов.

Повторим рассуждения, аналогичные пункту 2, для случаев n = 9, 8, 7 и 6.

Если n (число ходов) равно 9, то не превосходит 34 + 33 + … + 26 то есть не превосходит 270. С другой стороны, из чисел от 1 до 30 мы выбираем 9 троек, то есть 27 чисел, и их сумма не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 … + 27, то есть 378 – противоречие. 9 ходов сделать нельзя.

Аналогично, для n = 8 получим, что сумма не больше 244 и не больше  300  – тоже противоречие. 
Для n=7, проанализируем: сумма чисел входящих в 7 троек должна быть меньше 35+34+33+32+31+30+29, то есть меньше 224. Во взятые 7 троек не входят 9 чисел. Даже если это числа 30,29,28,27,26,25,24,23,22, то сумма чисел семи троек и чисел 30,29,28,2,26,25,24,23,22 получается меньше 224+234=458 (должна быть 465), значит, и 7 ходов сделать нельзя. 

Для n = 6 противоречия нет. Итак, число ходов  6.

Приведем пример, когда n = 6 (этот метод называется «Оценка плюс пример».)

Тройки чисел:

12, 11, 10, сумма 33
13, 14, 7, сумма 34
15, 16, 1, сумма 32
17, 2, 3, сумма 22
4, 8, 9, сумма 21
18, 5, 6, сумма 29.

Итак, наибольшее число ходов – 6.

Вы смогли бы ее решить? Она относительно простая, по сравнению со многими другими задачами такого типа.

Комментариев нет:

Отправить комментарий